a+b+c 세제곱 공식의 이해

수학에서 다항식의 세제곱을 전개하는 공식은 여러 가지가 있습니다. 그중에서 (a+b+c)³의 전개는 다음과 같습니다:

 

(a+b+c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a²b + b²a) + 3(a²c + c²a) + 3(b²c + c²b) + 6abc

이 공식을 이해하기 위해서는 먼저 (a+b)³와 (a+b+c)²의 전개를 살펴보는 것이 도움이 됩니다.

 

1. (a+b)³의 전개

(a+b)³은 다음과 같이 전개됩니다:

(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

이는 (a+b)²에 (a+b)를 곱한 결과입니다.

 

"수학 천재가 되는 길: a+b+c 세제곱 공식과 파이썬 비법 공개"

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2. (a+b+c)²의 전개

(a+b+c)²은 다음과 같이 전개됩니다:

(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)

이제 (a+b+c)³을 전개해 보겠습니다.

 

3. (a+b+c)³의 전개

(a+b+c)³은 (a+b+c)²에 (a+b+c)를 곱한 결과입니다.

(a+b+c)³ = (a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca))(a + b + c)

이를 분배법칙을 사용하여 전개하면 다음과 같습니다:

 

= a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc

따라서 최종적으로 다음과 같은 결과를 얻습니다:

 

(a+b+c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a²b + b²a) + 3(a²c + c²a) + 3(b²c + c²b) + 6abc

이 공식을 활용하면 다항식의 세제곱을 효율적으로 전개할 수 있습니다.

 

예시

a=1, b=2, c=3일 때, (a+b+c)³을 계산해 보겠습니다:

(1+2+3)³ = 1³ + 2³ + 3³ + 3(1²×2 + 2²×1) + 3(1²×3 + 3²×1) + 3(2²×3 + 3²×2) + 6×1×2×3

계산하면 다음과 같습니다:

 

= 1 + 8 + 27 + 3(2 + 2) + 3(3 + 3) + 3(12 + 12) + 6×6

= 36 + 3×4 + 3×6 + 3×24 + 36

= 36 + 12 + 18 + 72 + 36 = 174

따라서 (1+2+3)³ = 174입니다.